القاسم المشترك الأكبر (PGCD) هو مفهوم رياضي مهم يساعدنا في تبسيط الأعداد والكسور. تخيل أن لديك 12 قطعة شوكولاتة و18 قطعة حلوى، وتريد توزيعها على أكبر عدد ممكن من الأصدقاء بحيث يحصل كل صديق على نفس العدد من قطع الشوكولاتة ونفس العدد من قطع الحلوى. القاسم المشترك الأكبر سيساعدك في معرفة عدد الأصدقاء الذين يمكنك توزيع الحلويات عليهم!
القاسم المشترك الأكبر لعددين هو أكبر عدد يقسم كلا العددين دون باقي. نرمز له بالرمز PGCD(a, b).
على سبيل المثال، قواسم العدد 12 هي: 1, 2, 3, 4, 6, 12
وقواسم العدد 18 هي: 1, 2, 3, 6, 9, 18
فالقواسم المشتركة بينهما هي: 1, 2, 3, 6
وأكبرها هو 6، إذن PGCD(12, 18) = 6
لنفترض أن لدينا 12 تفاحة و18 برتقالة، ونريد عمل سلال تحتوي على نفس العدد من التفاح ونفس العدد من البرتقال في كل سلة.
ما أكبر عدد من السلال يمكننا تحضيره؟
إذن يمكننا عمل 6 سلال، في كل سلة تفاحتين و3 برتقالات.
للقاسم المشترك الأكبر بعض الخصائص المهمة:
لنطبق هذه الخصائص:
يسمى العددان أوليين فيما بينهما إذا كان القاسم المشترك الأكبر بينهما يساوي 1. هذا يعني أنه لا يوجد بينهما قواسم مشتركة غير العدد 1.
مثلاً، العددان 8 و 9 أوليان فيما بينهما لأن قواسم 8 هي: 1, 2, 4, 8 وقواسم 9 هي: 1, 3, 9 والقاسم المشترك الوحيد هو 1.
هل العددان 15 و 28 أوليان فيما بينهما؟
قواسم 15: 1, 3, 5, 15
قواسم 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28
القاسم المشترك الوحيد هو 1، إذن:
نعم، العددان أوليان فيما بينهما.
نستخدم القاسم المشترك الأكبر لتبسيط الكسور إلى أبسط صورة. عندما يكون بسط الكسر ومقامه أوليين فيما بينهما، نقول أن الكسر غير قابل للاختزال.
لتبسيط كسر، نقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر بينهما.
لنبسط الكسر 1824
أولاً نجد PGCD(18, 24)
ثم نقسم البسط والمقام على 6:
الكسر 34 غير قابل للاختزال
لأن PGCD(3, 4) = 1
قواسم 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
قواسم 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
القواسم المشتركة: 1, 2, 5, 10
أكبرها هو 10، إذن PGCD(20, 30) = 10
قواسم 14: 1, 2, 7, 14
قواسم 25: 1, 5, 25
القاسم المشترك الوحيد هو 1، إذن PGCD(14, 25) = 1
نعم، العددان أوليان فيما بينهما.
أولاً نجد PGCD(16, 24)
قواسم 16: 1, 2, 4, 8, 16
قواسم 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
القاسم المشترك الأكبر هو 8
نقسم البسط والمقام على 8:
أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 36 و 48.
حدد ما إذا كان العددان 21 و 32 أوليين فيما بينهما.
بسّط الكسر 4563 إلى أبسط صورة.